Por Carlos Rezende
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A Natureza Abstrata da Matemática                                   
O estudo da matemática pode desapontar no início. As importantes aplicações da ciência, o teorético interesse de suas idéias, e o rigor lógico de seus métodos, tudo isso gera da expectativa de uma introdução rápida a processos de interesse. Dizem-nos que sua ajuda podemos pesar as estrelas e contar os bilhões de moléculas em uma gota d'água. Entretanto, tal como o fantasma do pai de Hamlet, esta grande ciência ilude os esforços de nossas armas mentais para agarrá-la. "Está aqui, está acolá, foi-se" e o que vemos não sugere a mesma escusa de um simulacro conveniente para o fantasma, o qual é demasiado nobre para nossos métodos grosseiros. "Uma demonstração de violência”, se desculpável, pode certamente valer para os resultados triviais que ocupam as páginas de alguns tratados elementares de matemática.

A razão para essa falha da ciência em cumprir com as expectativas de alguém se deve às suas idéias fundamentais não serem explicadas aos estudantes desembaraçadas dos artifícios técnicos que têm sido inventados para facilitar a apresentação de exemplos particulares. Assim, o aprendiz infortunado vê-se a braços com uma massa de conhecimentos por adquirir sem que os mesmos sejam iluminados por qualquer concepção geral. Sem dúvida facilidade técnica é o primeiro requisito para uma atividade mental de valor: falharemos na apreciação do ritmo de Milton, ou no apreender a paixão de Shelley, na medida em que acharmos necessário soletrar as palavras e se não estivermos certos da forma das letras individuais. Neste sentido, não há estrada real para o conhecimento. Mas é igualmente um erro confiar toda a atenção somente nos processos técnicos, excluindo a consideração nas idéias gerais. Este é o caminho para o pedantismo.
O objeto do que se segue não é ensinar matemática, mas sim capacitar os estudantes no começo mesmo do curso saber o que realmente vem a ser essa ciência, o porquê da necessidade dos fundamentos do pensamento exato quando o aplicamos aos fenômenos naturais.

O primeiro contato que a maioria das pessoas tem com a matemática é através da aritmética. Que dois e dois são quatro é uma proposição que todos já terão escutado. A Aritmética é, portanto, um bom assunto a fim de descobrirmos, se posssível, as mais óbvias características da ciência. O primeiro fato que chama a atenção acerca da Aritmética é que ela se aplica a tudo, a gostos e a sons,a maçãs e a anjos,às idéias da mente e aos ossos do corpo.A natureza das coisas é perfeitamente indiferente,de todas as coisas é verdadeiro dizer que dois e dois são quatro.Deste modo podemos destacar uma característica saliente da matemática,isto é,que ela se aplica a coisas justamente porque são coisas,afora qualquer sentimento em particular,ou emoções,ou sensações,de qualquer modo relacionadas.Isto é o que  significa chamar a matemática de ciência abstrata.

 Variáveis
 
A matemática como ciência teve início quando alguém, provavelmente um grego, provou proposições sobre quaisquer coisas, sem especificar qualquer coisa individualmente. Estas primeiras proposições foram enunciadas pelos gregos sobre geometria; e, desse modo, a geometria foi a grande ciência grega. Após o nascimento da geometria, séculos se passaram antes que a álgebra começasse os seus primeiros passos, a despeito de algumas débeis antecipações terem sido feitas pelos matemáticos gregos posteriores.

As idéias sobre ‘qualquer’ e sobre ‘algum’ foram introduzidas na álgebra pelo uso de letras, ao invés de números definidos da aritmética. Assim, ao invés de dizer que 2+3=3+2, em álgebra generalizamos e dizemos que, se x e y representam quaisquer dois números, então x+y=y+x. Do mesmo modo, no lugar de dizer que 3>2 (3 é maior que 2), generalizamos e dizemos que se x for qualquer número, então existe algum número (ou números)y tal que y>x.
Talvez o uso de letras na matemática, a fim de representar as idéias de ‘qualquer’ e ‘algum’, requeresse a invenção dos numerais pelos árabes. Os romanos declarariam o número do ano em que este livro foi escrito como MDCCCCX, enquanto que nós o escrevemos como 1910, assim deixando o uso de letras para outros usos. Mas isto é meramente uma especulação. Após o advento da álgebra, o cálculo diferencial foi inventado por Newton e Leibniz, e então uma pausa no progresso da filosofia do pensamento matemático ocorreu no que diz respeito a estas noções; e somente nos últimos poucos anos que se tem verificado quão fundamental são as noções de ‘qualquer’e ‘algum’ para a própria natureza da matemática, com a abertura de ainda outras áreas para a exploração matemática.
Façamos agora algumas simples declarações algébricas, com o objetivo de entender exatamente como estas idéias fundamentais ocorrem.

(1) Para qualquer número x, x+2=2+x;
(2) Para qualquer número x, x+2=3;
(3) Para qualquer número x, x+2>3

O primeiro ponto a notar são as possibilidades contidas no significado de algum, como usado aqui. Desde que x+2=2+x para qualquer numero x, é verdadeiro para algum número x. Assim, como aqui usado, qualquer implica algum e algum não exclui qualquer. Continuando, no segundo exemplo, há, de fato, somente um número x, tal que x+2=3, a saber, o número 1. Assim, algum só pode ser um único número. Mas no terceiro exemplo, qualquer número x que for maior do que 1 dá x+2>3. Por conseguinte, há um número infinito de números que respondem a algum número neste caso. Com isto, algum pode ser qualquer coisa entre qualquer e somente um, incluindo ambos os casos limites.

É natural substituir as declarações (2) e (3) pelas questões:

(2’) Para qual número x é x +2=3;
(3’) Para quais números x é x+2>3;

Considere (2’) que x+2=3 é uma equação, e é fácil ver que sua solução é x=3-2=1. Quando solicitamos a questão implicada na declaração da equação x+2=3, x é chamada a incógnita. O objeto da solução de uma equação é a determinação da incógnita. As equações são de grande importância na matemática, e parece que (2’) exemplifica uma mais completa e fundamental idéia do que a declaração original (2). Isto, contudo, é um engano completo. A idéia da “variável” indeterminada como ocorre no uso de “algum” ou “qualquer” é de fato importante na matemática; aquela para desconhecida ou incógnita em uma equação, a qual é resolvida tão rapidamente quanto possível, é somente de uso subordinado, embora, é evidente, de grande importância. Uma das causas da aparente trivialidade de muita álgebra elementar é a preocupação dos tratados com a solução das equações. A mesma observação aplica-se à solução da inequação (3’) quando comparada com a declaração original (3).

Mas a maioria das fórmulas interessantes, especialmente quando a idéia de algum está presente, envolve mais de uma variável. Por exemplo, a consideração dos pares de números x+y=1 (fracional ou integral) envolve a idéia de 2 variáveis correlacionadas, x e y. Quando duas variáveis estão presentes, os mesmos tipos de declarações ocorrem. Por exemplo, (1) para quaisquer pares de números, x e y, x+y=y+x e (2), para alguns pares de números, x e y, x+y=1.

O segundo tipo de declaração convida à consideração de um agregado de pares de números que estão vinculados entre si por alguma relação fixada, isto é, x+y=1. Uma utilidade de fórmulas do primeiro tipo, verdadeira para qualquer par de números, é que por ela fórmulas do segundo tipo podem ser emprestadas a um número indefinido de formas equivalentes. Por exemplo, a relação x+y=1 é equivalente a relações y+x=1; (x-y) + 2y=1; 6x+6y=6; e assim por diante. Desta maneira, um matemático habilidoso usa aquela forma equivalente na relação que lhe for mais conveniente a seus propósitos imediatos.

Não é verdade geral que,quando um par de termos satisfaz alguma relação fixada,se um dos tiver sido dado o outro estará também definidamente determinado.Por exemplo,quando x e y satisfazem y²=x,se x=4,y pode ser 2,pois,para qualquer valor positivo de x há valores alternativos para y.Também na relação x+y>1,quando quer x,quer y,são dados,um número indefinido de valores permanecem abertos para o outro.

Novamente, há outro importante ponto a notar. Se nos restringirmos aos números positivos, inteiros ou fracionários, ao considerar a relação x+y=1, então, quer x, quer y, sejam maiores que 1, não há número positivo que o outro pode assumir de modo a satisfazer a relação. Assim, o “campo” da relação para x está restringido a números menores que 1, e similarmente para o “campo” aberto a y. Novamente, considere números inteiros somente, positivos ou negativos, e tome a relação x²=y, satisfeita por tais pares de números. Então, qualquer que seja o valor inteiro dado a y, x pode assumir um correspondente valor inteiro. Deste modo, o “campo” para y não está restrito entre os inteiros positivos ou negativos. No primeiro caso, x deve ser positivo,  e no segundo caso, desde que y deve ser inteiro, x necessariamente é um quadrado perfeito. Conseqüentemente, o “campo” de x está restrito ao conjunto dos inteiros 1²,2²,3²,4², e assim por diante, e seus correspondentes 1, 4, 9, 16, etc.

O estudo das propriedades gerais de uma relação entre pares de números é muito facilitado pelo uso de um diagrama construído como se segue: Trace duas linhas 0X e 0Y em ângulos retos; qualquer número x será representado por x unidades (em qualquer escala) de comprimento ao longo de 0X, qualquer número y (em qualquer escala), de y unidades de comprimento, ao longo de 0Y. Assim, no paralelograma 0MPN, localizamos o ponto P que corresponde ao par de números X e Y.Cada ponto corresponde a um par de números,e cada par de números corresponde a um ponto.O par de números são chamados de coordenadas do ponto.Deste modo os pontos cujas coordenadas satisfazem alguma relação fixa podem ser indicados de um modo conveniente traçando-se uma linha,se todos os ponto estão numa linha,ou sombrear uma área,se todos os pontos estão nesta área.Se uma relação pode ser representada por equação tal que x+y=1,ou y²=x,então os pontos estão numa linha,que é reta no primeiro caso e curva,no segundo.Por exemplo,considerando somente os números positivos,os pontos cujas coordenadas satisfazem x+y=1 estão na linha reta AB da figura 1,onde 0A=1 e 0B=1.Assim,este segmento da linha reta AB dá uma representação pictorial das propriedades da relação sob a restrição dos números positivos.

Resumo e Tradução de Carlos Rezende, do seguinte livro em domínio público:
  http://www.archive.org/details/. AN INTRODUCTION TO MATHEMATICS, by Alfred North WHITEHEAD
  17/09/2008.